ACERCA DE LAS FUNCIONES
En este post voy a tratar el tema de las funciones desde un punto de vista práctico. Daré una definición, explicaré las variedades de tipos de funciones, sus características, algunas operaciones comunes con funciones y ejemplos de la vida real.
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1. ¿Qué es una función?
Una función suele representarse con letras como $f$, $g$, $y$, o incluso con letras del alfabeto griego, como $\Omega$, $\rho$ o $\Gamma$, por ejemplo. Sin embargo, puedes usar la letra que desees o incluso combinaciones con subíndices y superíndices, por ejemplo: $f_1$ o $g^{(j)}$. Como puedes notar, la representación de una función es variada y la única restricción a considerar es que quede claro en el contexto del uso de esa función.
Además, de lo anterior, una función se escribe usando otras letras como argumentos. Ejemplos de estas funciones son: $f(x)$, $g(y)$, $h(x,y)$, o $v(x,y,x,t)$. El argumento se escribe entre paréntesis y se compone de letras distintas a la que usas para referirte a la función; pero debes considerar que incluso otras funciones pueden formar parte del argumento, como $f(g(y))$ o $v(x,f(y))$.
De lo expuesto anteriormente, debe hacerse una especificación adicional sobre la notación. Las letras fuera del paréntesis son el nombre de la función y, al mismo tiempo, la variable dependiente; mientras que todas las letras dentro del argumento se conocen como variables independientes.
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| Partes de una función |
Entonces, ¿qué es una función? De manera coloquial, las funciones son representaciones matemáticas de algo. Ese algo puede ser un fenómeno físico, químico, biológico, social, económico, electrónico o de cualquier naturaleza. Lo importante es que una función es una representación matemática. Para hacer este tema complejo, en muchos libros de texto aparece un sinnúmero de funciones que parecen no tener ninguna relación con algo real. Digamos entonces, que también uno mismo puede crear o diseñar o inventar sus propias funciones sin necesidad de que exista una conexión con un fenómeno de la vida real.
Por otro lado, en diversos textos se ofrecen definiciones con cierto formalismo. Por ejemplo, el libro The Calculus de Louis Leithold (7ma edición, pág. 2) establece que una función es un conjunto de pares ordenados de números $(x,y)$ en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número.
Un componente que he omitido hasta ahora es el de la expresión matemática que define una función. Es decir, la estructura matemática que caracteriza a la función en términos de la variable independiente. Estos son algunos ejemplos de funciones:
$f(x)=2x^2$
$g(x)=2\dfrac{\sin x}{x^3}-8$
$\Gamma(x) = \begin{cases} -x & x < 0 \\ x^2 & x \ge 0 \end{cases}$
Lo que aparece en el lado derecho del signo igual, en las funciones mostradas, es la expresión matemática que las define. Es esta expresión matemática la que tiene que ver con la representación de un fenómeno o algo puramente inventado.
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| Ejemplos de funciones |
2. Funciones de la vida real
Antes de introducir un poco más de complejidad en las funciones, te mostraré algunos ejemplos de funciones con uso en la vida real, ya sea en ciencia aplicada o en ingeniería, que los profesionales muchas veces utilizan sin darse cuenta.
Considera el caso de los termómetros digitales, que en realidad no miden la temperatura sino cambios en el voltaje (termopares) o la resistencia eléctrica (RTD).
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| Kitchen digital thermometer |
Estos dispositivos se usan mucho actualmente en la cocina o en un consultorio médico, por ejemplo. En el caso de los termómetros basados en termopares, el dispositivo es capaz de medir cambios minúsculos de voltaje, debidos a cambios de temperatura, y que luego muestra como datos de temperatura en una pantalla. ¿Cómo se hace esto? Fácil. Los científicos e ingenieros desarrollaron expresiones matemáticas que relacionan el voltaje con la temperatura (hay muchas de hecho). Un ejemplo es:
$\begin{align} T(V)=& 2.5173462 \times 10^1 V - 1.1662878 V^2 - 1.0833638 V^3 - 8.9773540 \times 10^{-1} V^4\\ & -3.7342377 \times 10^{-1} V^5 -8.6632643 \times 10^{-2} V^6 -1.0450598 \times 10^{-2}V^7 -5.1920577 \times 10^{-4}V^8 \end{align}$...........(1)
en donde $T$ es la temperatura, en un rango de -200°C a 0°C, y $V$ el voltaje medido, en un rango de -5.891 mV a 0. La función anterior es la representación matemática de algo que ocurre físicamente y que, sin esta representación, el desarrollo de dispositivos como el termómetro no sería posible, y, peor aún, la medición de la temperatura tomaría mucho tiempo.
La función en Ec. (1) tiene dos tipos de variables ya mencionadas. $T$ es la variable dependiente y $V$ la independiente. Si sustituimos un valor de voltaje dentro del rango permitido, obtenemos la temperatura correspondiente. Por ejemplo:
$T(V=-4\,mV)=-115.1048689\,°C$
A esto se le llama evaluación de una función. El valor de la temperatura $T$ depende de $V$. Digamos entonces, que la Ec. (1) tiene la virtud de proporcionar el valor de la temperatura para cualquier voltaje.
Otro ejemplo de una función tomada de la vida real tiene que ver con la dependencia de la densidad de un fluido con la temperatura. Muchas veces, para dar el valor de la densidad de un fluido tenemos que recurrir a tablas de datos y muy posiblemente tener que realizar una interpolación. Búsquedas sucesivas del valor de la densidad hace este proceso muy tedioso. En cambio, podemos pensar en una función con la densidad del fluido $\rho$ en términos de la temperatura del fluido $T$. Para el caso del agua, esta función puede escribirse como:
$\rho(T) = \dfrac{999.84 + 16.95 T - 7.99\times 10^{-3} T^2 - 46.17\times 10^{-6} T^3 + 105.56\times 10^{-9} T^4 - 280.54\times 10^{-12} T^5}{1 + 16.88\times 10^{-3} T}$...........(2)
en donde $\rho$ es la densidad del fluido en $kg/m^3$ y $T$ es la temperatura del fluido en °C. El rango de temperaturas válido es de 0°C a 100°C. En este caso, la función mostrada en la Ec. (2) sería la que usan algunos sitios web para proporcionar datos de un fluido. Para este caso, sigue el siguiente enlace para que veas algo similar implementado en este mismo blog:
Calculadora de la densidad del agua
Como habrás podido notar, el sitio mostrado solo evalúa la función en algún valor de la temperatura y muestra el valor de la densidad correspondiente. Increíble, ¿no?
Un tercer y último ejemplo se refiere a la propagación de un virus. Un ejemplo de esto es el COVID-19, para el cual se crearon numerosos modelos matemáticos para entender su comportamiento y apoyar la toma de decisiones. Una representación sencilla de la propagación de un virus $I(t)$ es exponencial. Esto es:
$I(t) = I_0 \exp \left[rt\right]$………….(3)
en donde $I_0$ es el número de infectados al inicio, $r$ es la tasa de propagación del virus y $t$ es el tiempo. En este caso la función no está definida completamente porque hay parámetros constantes que dependen del virus, del lugar y de otros factores.
Finalmente, vale la pena recordar que las funciones representan algo y lo hacen mediante una expresión matemática. Sin embargo, las funciones tienen su contraparte gráfica para representar cosas, y muchas veces el gráfico de la función ayuda mucho a comprender su naturaleza y sacar mayor provecho.
3. Funciones con más de una variable independiente
Resulta que los fenómenos que ocurren en nuestro entorno son muy complejos y que muchas veces una función con solo una variable independiente, digamos $f(x)$, es sencilla y fácil de entender; pero no es del todo efectiva en cuanto a representar lo que estamos viviendo en el mundo real.
¿Qué se hace en este caso? Lo idóneo es enfrentar directamente el problema y crear o diseñar funciones más complejas incluyendo más variables independientes, digamos $f(x,y)$ o $f(x,y,z)$ o $f(x,y,z,t)$ o con más variables, de acuerdo con lo que se necesite. A continuación doy una lista de fenómenos de nuestro entorno que no pueden ser simplificados como para representarlos con una función de una sola variable independiente.
- El pronóstico metereológico
- La propagación de un virus
- El nivel de éxito de un egresado de alguna carrera
entre otros. ¡Debemos aceptar que el pronóstico de lluvia para un día, hora y minuto determinados, y su intensidad, en tu ciudad dependerá de diversos factores, como la temperatura, la presión, la velocidad y la humedad del viento, la altitud de la ciudad y lo que ocurrió la semana pasada (en términos meteorológicos), e incluso lo que ocurrió en otro lugar del planeta! Haciendo un análisis similar con la propagación de un virus y el nivel de éxito profesional de un egresado, nos daremos cuenta de que la función que pensemos deberá ser muy compleja e incluir diversas variables.
Lo anterior lleva a que incluso la función misma deba entenderse de manera distinta. Un caso muy particular es el de la velocidad de un fluido. Para muchos, la velocidad es solo un número, digamos $v=5.5 m/s$, pero en física la velocidad es también un vector que puede depender de la posición en el espacio y del tiempo, digamos $\mathbf{v}=u(x,y,z,t)\mathbf{i}+v(x,y,z,t)\mathbf{j}+w(x,y,z,t)\mathbf{k}$, por ejemplo. Es decir, la velocidad se define de manera más general en términos de un vector para quienes hacen investigación científica, pero se reduce a un número para la gran mayoría de la gente, sin que ello suponga un conflicto. Conforme la tecnología y la ciencia avanzan, casos similares a este aparecen con mayor regularidad.
A donde quiero llegar con este apartado es que debes tener en cuenta que mucho de lo presentado en los textos se da con funciones bastante simples con la idea de que se comprenda la idea central; pero que las funciones son en realidad más ricas en su contenido.
La definición presentada anteriormente para una función sigue siendo válida, si consideramos su extensión a más variables independientes. Por ejemplo, una función $y(x)=x^2$ podría estar compuesta de los siguientes puntos $(x,y)$:
$(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)$
mientras que otra función $v(x,yt)=x^2yt^3$ podría estar compuesta de los siguientes puntos $(x,y,t,v)$:
$(0,0,0,0),(1,1,1,1),(2,2,2,64),(3,3,3,729),(4,4,4,4096),(5,5,5,15625)$
de lo que puede verse que el valor obtenido para la función $v$ nunca es el mismo, como ocurre con $y$.
4. Dominio y contradominio
Dominio y contradominio son características de una función que ayudan a explorar y definir las limitaciones de la expresión matemática que la define. Esto es de interés porque hay valores de las variables independientes que no son permitidos o que, digamos, no tienen un significado físico o que no son algo real.
En este apartado explicaré cómo determinar el dominio y el contradominio y, muy importante también, su notación.
De acuerdo con el libro The Calculus de Louis Leithold (7ma edición, pág. 3), el dominio de una función es el conjunto de todos los valores admisibles de $x$. Es decir, son los valores de las variables independientes tales que cuando se sustituyen en la función, ésta tiene un valor finito.
Nota importante. La idea de infinito puede ser difícil de entender, pero su definición en matemáticas debe tomarse con seriedad y al pie de la letra. El símbolo del infinito es $\infty$. Infinito representa el número más grande que existe, y solo se supera por potencias enteras positivas de este, como $\infty ^2$, por ejemplo. El número infinito es tan grande que no puede escribirse y si una persona intentase escribirlo, jamás terminaría. Otra manera coloquial de comprender el $\infty$ es que es un número tan grande que no te cabe en la cabeza. Literalmente, tu cabeza explotaría (jaja).
También en el libro The Calculus de Louis Leithold (7ma edición, pág. 3), se da una definición para el contradominio de una función como el conjunto de todos los valores resultantes de $y$; es decir, la función. Al contradominio también se le llama rango. El contradominio o rango debe ser un conjunto de valores finitos.
¿Cuáles son los valores admisibles? En este punto hay diversas opciones que dependen básicamente del espacio de números en el que nos encontremos. Suena complicado, pero la idea es la siguiente. Debido a que estaremos tratando solo con números reales, los valores admisibles de $x$ o de cualquier otra variable independiente son los números reales. Lo mismo se aplica al contradominio. Considérese también que el $\infty$ no forma parte de los números admisibles por el simple hecho de que no puede escribirse.
Un caso similar que vale la pena mencionar es el del conjunto de los números complejos. Aquellos que, por definición, incluyen el número imaginario $i=\sqrt{-1}$. Entonces, debemos recordar el tipo de función que tengamos enfrente y, sobre todo, la naturaleza de sus variables.
Veamos ahora un par de ejemplos para ilustrar las ideas de dominio y contradominio.
Ejemplo 1. Determinemos el dominio y el contradominio de $f(x)=x$. Partiendo de la definición de dominio, debemos determinar todos los valores que podemos asignar a la variable independiente $x$ tales que $f$ tome solo valores finitos, es decir, que $f$ no se haga $\infty$ y que sean reales. Para $f(x)=x$, fácilmente podemos determinar que el dominio se compone de todos los valores de $x$ desde $-\infty$ hasta $\infty$.
El contradominio de $f$ es el conjunto de todos los valores que se obtienen a partir del dominio: $-\infty < x < \infty$. De lo anterior, podemos determinar fácilmente que si sustituimos valores reales negativos de $x$ en $f(x)$, entonces $f$ siempre toma valores reales negativos. Algo similar ocurre con valores reales positivos de $x$. Por lo tanto, el contradominio de $f(x)$ es $-\infty < f(x) < \infty$.
Debes notar que ni $x$ ni $f(x)$ toman valores de $\infty$. Por eso usé los símbolos $<$ y $>$.
Finalmente, el dominio y el contradominio suelen expresarse mediante notaciones específicas: intervalos abiertos, cerrados y combinaciones de ambos. Para este ejemplo, el dominio se puede escribir como $(-\infty,\infty)$; mientras que el contradominio se expresaría como $(-\infty,\infty)$.
Otra manera de ver el dominio y el contradominio es de forma gráfica. Yo, en lo personal, aconsejo siempre verificar los resultados graficando la función. En este caso $f(x)$ tiene la siguiente forma:
%20=%20x.png) |
| $f(x)=x$ |
Como puede verse en el gráfico mostrado anteriormente, el dominio y el contradominio deducidos concuerdan con el comportamiento de $f(x)$. Vemos que, sobre el eje $x$, esta variable puede tomar prácticamente cualquier valor. De la misma manera, en términos del dominio, vemos que la gráfica se extiende de abajo a arriba sin que en ningún lugar veamos una discontinuidad o en donde $f(x)$ no esté definida.■
Debemos hacer una pausa para dar algunos detalles sobre la notación del dominio y del contradominio. Para indicar ambos, el dominio y el contradominio, el conjunto de números se representa con solo los extremos de ese conjunto. Para ello se usan paréntesis $()$ (abierto), corchetes $[]$ (cerrado) y sus posibles combinaciones $(]$ o $[)$. A estos también se les denomina intervalo, ya que solo se muestran los números en los extremos. En un intervalo abierto $()$ se incluyen los números en los extremos; es decir, la variable independiente sí se evalúa en estos números, mientras que en un intervalo cerrado los extremos no se admiten. La explicación para $(]$ y $[)$ puede sobreentenderse.
Ejemplo 2. Determinemos el dominio y el contradominio de $f(x)=x^2$. Sigamos un procedimiento similar al del ejercicio anterior. El dominio se determina a partir de los valores reales admisibles de la variable independiente $x$. Es fácil darse cuenta de que prácticamente cualquier valor real es admisible y, por lo tanto, el dominio será $[-\infty,\infty]$, usando la notación ya presentada. Nótese que $x$ no puede tomar valores al infinito.
El caso del contradominio es un poco distinto porque, independientemente del valor asignado a $x$, $f$ siempre toma valores positivos a partir de 0. Es fácil darse cuenta de ello por la potencia cuadrática en $f(x)=x^2$. No importa el signo de $x$, porque al elevarlo al cuadrado el resultado es siempre positivo. Por lo tanto, el contradominio será (0,\infty]. Nótese que en este caso $f$ sí puede tomar el valor de 0; pero no el de $\infty$.
Al igual que antes, podemos verificar nuestras conclusiones graficando $f(x)=x^2$. Su gráfica es:
%20=%20x2.png) |
| $f(x) = x^2$ |
$f(x)=x^2$ es una parábola con vértice en el origen. Debido a que la parábola está abierta hacia arriba, todos los valores de $f$ son siempre positivos.■
En otros posts, pondré otros ejemplos sobre la determinación del dominio y el contradominio de una función.
5. Continuidad y discontinuidad
La continuidad y la discontinuidad son dos propiedades importantes que pueden presentar las funciones. Estas dos propiedades son mutuamente excluyentes, aunque una función puede poseer ambas. Sin embargo, podemos hablar de continuidad y discontinuidad en una misma función siempre y cuando restrinjamos la afirmación a una región dada.
Entonces, ¿qué es la continuidad? La continuidad solo tiene sentido para un único valor de la variable independiente. Es decir, la continuidad se da en un número. De acuerdo con el texto The Calculus de L. Leithold una función $f$ es continua en el número $a$ si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
- $f(x=a)$ existe;
- $\lim_{x \to a} f(x)$ existe;
- $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en $a$, entonces se dice que la función es discontinua en $a$. Y de la anterior, resulta obvio que si la función es discontinua en $a$, entonces es continua. Es posible que en este punto no sepas qué es un límite $\lim_{x \to a} f(x)$; pero no te preocupes. Hay una forma sencilla de comprender la definición presentada en el libro The Calculus.
Podemos, también, ver la continuidad o la discontinuidad de manera gráfica. Consideremos la siguiente gráfica de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$. ¡Ambas curvas en rojo pertenecen a la misma función!.
%20=%20disc.png) |
| $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ |
Ahora, preguntémonos por la continuidad de $f(x)$ en $x=2$. Lo que estamos viendo es que, conforme $x$ toma valores cercanos a 2, desde el extremo de los números negativos la gráfica se va hacia abajo y, desde el extremo de los números positivos, la gráfica se va hacia arriba. Esto es a lo que se le conoce como una discontinuidad en la función en $x=2$.
Ahora, ¿será la misma función discontinua en $x=3$? La respuesta es clara: NO. Si observas con cuidado la gráfica anterior, te darás cuenta de que en $x=3$ la gráfica no se corta; es decir, que la curva es continua y, por lo tanto, la función también.
¿Tienes alguna pregunta o comentario acerca de este post? Me gustaría poder ayudar. Por favor, siéntete libre de dejar tus preguntas en la sección de comentarios abajo, y trataré de responderte tan pronto como pueda.
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