Integral de $x \sin (x)$

¡Hola a todos! En este artículo vamos a resolver detalladamente una de las integrales más comunes y didácticas del cálculo integral: \(\int x \sin(x) \, dx\). Para resolverla, utilizaremos el método de integración por partes de una forma sencilla y estructurada.

Índice de Contenidos

• 1. Metodología: Integración por Partes
• 2. Paso 1: Elección de Variables (u y dv)
• 3. Paso 2: Aplicación de la Fórmula
• 4. Paso 3: Integración Final y Resultado
• 5. Resumen del Resultado

1. Metodología: Integración por Partes Volver arriba ↑

Para resolver esta integral, utilizaremos el método de Integración por Partes. Este método se basa en la regla del producto para la derivación y se define mediante la siguiente fórmula clásica:

$$\int u \, dv = u v - \int v \, du$$

2. Paso 1: Elección de Variables (u y dv) Volver arriba ↑

Asignamos los componentes de nuestra integral original según la estrategia de dar prioridad a las funciones algebraicas sobre las trigonométricas:

Definimos \(u\):

$$u = x$$

Definimos \(dv\):

$$dv = \sin(x) \, dx$$

Ahora, derivamos \(u\) para obtener \(du\), e integramos \(dv\) para obtener \(v\):

• Diferencial de \(u\): \(du = dx\)
• Integral de \(v\): \(v = \int \sin(x) \, dx = -\cos(x)\)

3. Paso 2: Aplicación de la Fórmula Volver arriba ↑

Sustituimos nuestros valores de \(u\), \(v\), \(du\) y \(dv\) en la fórmula de integración por partes:

$$\int x \sin(x) \, dx = (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \, dx + C$$

en donde \(C\) es la constante de integración. Para simplificar el proceso, podemos extraer el signo negativo fuera del símbolo de la nueva integral y acomodar el término algebraico inicial:

$$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx + C$$

4. Paso 3: Integración Final y Resultado Volver arriba ↑

Para terminar, solo debemos resolver la integral restante. Sabemos por las tablas de fórmulas inmediatas que la integral del \(\cos(x)\) es \(\sin(x)\):

$$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$$

Sustituimos esto en nuestra ecuación anterior y se obtiene directamente:

$$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$$

5. Resumen del Resultado Volver arriba ↑

La solución final de la integral indefinida es:

$$-x \cos(x) + \sin(x) + C$$

Donde \(C\) representa la constante de integración indispensable para todas las integrales indefinidas.

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Ildebrando Pérez Reyes

¡Espero que este tutorial te haya sido de gran utilidad! Si te ha quedado alguna duda, tienes alguna sugerencia o quieres proponer otro ejercicio, te animo a que dejes tu mensaje abajo en la sección de comentarios. ¡Estaré encantado de responderte!