Integral de $3x \cos(x)$

Cómo resolver la integral de 3x cos(x) dx paso a paso

¡Hola a todos! En este artículo vamos a resolver detalladamente una de las integrales más comunes y didácticas del cálculo integral: ∫ 3x cos(x) dx. Para resolverla, utilizaremos el método de integración por partes de una forma sencilla y estructurada.

Índice de Contenidos

• 1. Metodología: Integración por Partes
• 2. Paso 1: Elección de Variables (u y dv)
• 3. Paso 2: Aplicación de la Fórmula
• 4. Paso 3: Integración Final y Resultado
• 5. Resumen del Resultado

1. Metodología: Integración por Partes Volver al inicio ↑

Para resolver esta integral, utilizaremos el método de Integración por Partes. Este método se basa en la regla del producto para la derivación y se define mediante la siguiente fórmula clásica:

∫ u dv = u v - ∫ v du

2. Paso 1: Elección de Variables (u y dv) Volver al inicio ↑

Asignamos los componentes de nuestra integral original según la estrategia anterior:

Definimos u:

u = 3x

Definimos dv:

dv = cos(x) dx

Ahora, derivamos u para obtener du, e integramos dv para obtener v:

• Diferencial de u: du = 3 dx
• Integral de v: v = ∫ cos(x) dx = sen(x)

3. Paso 2: Aplicación de la Fórmula Volver al inicio ↑

Sustituimos nuestros valores de u, v, du y dv en la fórmula de integración por partes:

∫ 3x cos(x) dx = (3x)(sen(x)) - ∫ sen(x) (3 dx) + C

en donde C es la constante de integración. Para simplificar el proceso, podemos extraer la constante numérica (3) fuera del símbolo de la nueva integral y eliminamos los signos de agrupación (paréntesis) no necesarios:

∫ 3x cos(x) dx = 3x sen(x) - 3 ∫ sen(x) dx + C

4. Paso 3: Integración Final y Resultado Volver al inicio ↑

Para terminar, solo debemos resolver la integral restante. Sabemos por las tablas de fórmulas que la integral del sen(x) es -cos(x):

∫ sen(x) dx = -cos(x) + C

Sustituimos esto en nuestra ecuación:

∫ 3x cos(x) dx = 3x sen(x) - 3(-cos(x)) + C

Ahora simplificamos haciendo el producto de los signos y eliminando los signos de agrupación (paréntesis) que no son necesarios. Se obtiene:

∫ 3x cos(x) dx = 3x sen(x) + 3 cos(x) + C

5. Resumen del Resultado Volver al inicio ↑

La solución final de la integral indefinida es:

3x sen(x) + 3 cos(x) + C

Donde C representa la constante de integración indispensable para todas las integrales indefinidas.

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Ildebrando Pérez Reyes

¡Espero que este tutorial te haya sido de gran utilidad! Si te ha quedado alguna duda, tienes alguna sugerencia o quieres proponer otro ejercicio, te animo a que dejes tu mensaje abajo en la sección de comentarios. ¡Estaré encantado de responderte!