ÁREA ENTRE CURVAS - CASO #01

En este post voy a resolver en detalle el cálculo de las áreas entre una parábola y dos rectas. Este es un proceso que requiere la visualización esquemática del cálculo en términos de lo que se presenta gráficamente.

Para navegar a través del post, te recomiendo que uses los botones de la tabla de contenido.

📋 Contenido

1. Planteamiento del problema 2. Solución

---

1. Planteamiento del problema

Calcula las áreas de las regiones denominadas $A$, $B$, $C$ y $D$, como se muestra en el esquema a continuación.

Esquema de la parábola y de las rectas que definen las áreas que deben determinarse.

Responde a los siguientes cuestionamientos.

1. Escribe el punto en el que la parábola tiene su vértice.
2. Escribe la ecuación de la recta $L1$ que pasa por los puntos (-3,9) y (3,9).
3. Escribe el punto en el cual la recta del punto anterior cruza el eje $y$.
4. Escribe la ecuación de la recta $L2$ que pasa por los puntos (-3,9) y (2,4).
5. Escribe la ecuación de la recta $L3$ que pasa por los puntos (3,9) y (-2,4).
6. Escribe el punto en el que las rectas $L2$ y $L3$ se cortan.
7. ¿Cuál es el área de la región $A$?
8. ¿Cuál es el área de la región $B$?
9. ¿Cuál es el área de la región $C$?
10. ¿Cuál es el área de la región $D$?

▲ Go to Top

2. Solución

Este ejercicio lo he adaptado del libro de texto Cálculo Diferencial e Integral de E. J. Purcell, D. Varbergb y S. E. Rigdon.

El ejercicio que se presenta presenta una dificultad: no se dan las funciones que generan ni la parábola ni las rectas que delimitan las áreas $A$, $B$, $C$ y $D$. Sin embargo, sí se proporcionan los puntos en donde se cortan las rectas con la parábola, y esa es información importante.

Escribe el punto en el que la parábola tiene su vértice. Esta es una pregunta fácil de responder porque el esquema mostrado indica que el vértice se encuentra en el origen del plano cartesiano. Entonces, la respuesta es directamente: $(0,0)$.■

Escribe la ecuación de la recta $L1$ que pasa por los puntos (-3,9) y (3,9). Esta pregunta es un poco capciosa porque la ecuación de la recta es muy sencilla. Es fácil ver en el esquema y corroborar en términos de los dos puntos dados que la recta es completamente horizontal, ya que en ambos el valor que corresponde a $y$ es el mismo.

Consideremos que la ecuación de cualquier recta es:

$y=mx+b$……………..(1)

en donde $m$ es la pendiente de la recta y $b$ es el valor de $y$ en el que la recta cruza el eje-$y$. Luego, si la recta es horizontal, su pendiente es cero: $m=0$. Y si su pendiente es cero, la recta cortará el eje-$y$ en 9. Por lo tanto, la ecuación de la recta $L1$ es $y_{L1}=9$.Además, esta respuesta la podemos comprobar si gráficamos la ecuación de $L1$, como se muestra en la siguiente imagen.

Fig. 01 Gráfica de recta $L1$, $y=9$

Como puedes ver, la gráfica es una línea recta horizontal que pasa el eje-$y$ en $y=9$.■

Escribe el punto en el cual la recta del punto anterior cruza el eje $y$. Esta pregunta la respondimos ya. En este caso sería $(0,9)$.■

Escribe la ecuación de la recta $L2$ que pasa por los puntos $(-3,9)$ y $(2,4)$. Para esta cuestión, debemos calcular primero $m$ y posteriormente $b$, y después usar la Ec. (1) para dar la ecuación de la recta $L2$. La pendiente de la recta $L2$ sería:

$m=\dfrac{9-4}{-3-2}=-1$……………..(2)

Mientras que $b$ la podemos calcular considerando que el punto coordenado que le corresponde es $(0,b)$. Por otro lado, ya que la pendiente $m$ será siempre la misma para cualquier par de puntos sobre la recta $L2$, también podemos escribir lo siguiente:

$m=-1$……………..(3)

$-1=\dfrac{9-b}{-3-0}$……………..(4)

Si despejamos $b$ de la Ec. (4) se obtiene que $b=6$. Y por lo tanto, la ecuación de la recta $L2$ es $y_{L2}=-x+6$. Este último resultado también puede ser verificado gráficamente. En la imagen siguiente puede verse que he añadido la recta $L2$ a la Fig. 01.

Fig. 02 Gráfica de la recta $L1$, $y_{L1}=9$, y la recta $L2$, $y_{L2}=-x+6$.

En donde, como puedes observar, ambas rectas, $L1$ y $L2$, se cortan en $(-3,9)$.■

Escribe la ecuación de la recta $L3$ que pasa por los puntos (3,9) y (-2,4). Esta cuestión se resuelve de manera similar a la anterior. Debemos calcular $m$ y, a partir de la definición de pendiente, estimar el $b$ correspondiente. La pendiente se calcula entonces como sigue:

$m=\dfrac{9-4}{3-(-2)}=1$……………..(5)

Continuando con el proceso, $b$ se calcula considerando que la pendiente será la misma independientemente de cuál par de puntos sobre la recta $L3$ se escoja. Entonces, si escogemos el punto $(0,b)$, en donde la recta $L3$ corta el eje-$y$, entonces la pendiente debe ser la misma, $m=1$. De esta manera:

$m=1$……………..(6)

$1=\dfrac{9-b}{3-0}=1$……………..(7)

De nuevo, despejando $b$ de la Ec. (7) nos dá que $b=6$. Y por lo tanto, la ecuación de la recta $L3$ es: $y_{L3}=x+6$.

Al igual que antes, podemos verificar gráficamente nuestro resultado. Entonces, añadiré a las gráficas de la Fig. 02 la recta $L3$.

Fig. 03 Gráfica de la recta $L1$, $y_{L1}=9$, la recta $L2$, $y_{L2}=-x+6$, y la recta $L3$, $y_{L3}=x+6$.

Observa, que las rectas $L2$ y $L3$ se cortan en el punto $(0,6)$ justo como lo habíamos calculado.■

Escribe el punto en el que las rectas $L2$ y $L3$ se cortan. Esta cuestión ya fue respondida. Nótese que en la Fig. 03 las rectas $L2$ y $L3$ se cortan en el punto $(0,6)$, que también fue el utilizado para el cálculo de las ecuaciones de esas rectas.■

El planteamiento del ejercicio indica que la curva que se muestra en el esquema es una parábola. El inconveniente está en, ¿cuál parábola?. Esta es una pregunta válida, ya que existen muchas ecuaciones para una parábola con vértice en el origen $(0,0)$. Es decir, las parábolas definidas por la Ec. (08) tienen la siguiente ecuación:

$y_p=ax^2$……………..(8)

en donde el subíndice $p$ en la Ec. (8) es en referencia a parábola.

Determinemos entonces el valor de $a$ correspondiente a la curva del esquema de este ejercicio. En otras palabras, debemos determinar el valor de $a$ tal que la parábola pase por los puntos $(-3,9)$ y $(3,9)$. Y como prueba final, la parábola generada deberá cortar la recta $L2$ en el punto $(-2,4)$ y la recta $L3$ en el punto $(2,4)$.

Vale la pena, entonces, dar un vistazo a las parábolas generadas con diferentes valores de $a$. Esto lo podemos ver en la Fig. 04.

Fig. 04 Gráficas de $y_p=ax^2$.

Observa que para valores de $a$<1 a="" bola="" de="" ensancha="" la="" par="" para="" se="" valores="" y="">1 la parábola se hace más angosta. Por supuesto que debemos entonces revisar diversos valores de $a$ y verificar si la parábola corta las rectas $L2$ y $L3$ en los puntos ya mencionados.

Para este ejercicio, se determina que el valor que satisface las condiciones ya mencionadas es $a=1$, y que la ecuación buscada es:

$y_p=x^2$……………..(9)

La Ec. (9) es la que se utilizará entonces para responder a los cuestionamientos que siguen.

¿Cuál es el área de la región $A$?. Primero analicemos cómo se compone la región $A$. Observa que el triángulo de la región $A$ está delimitado por las rectas $L1$, $L2$ y $L3$. Además, la uno de los vértices está en el punto de cruce de $L2$ y $L3$: $(0,6)$. ¡Una observación clave es la simetría vertical de todo el esquema!

Partiendo de estas ideas, basta entonces con calcular solo el área de la porción de la región $A$ al lado derecho del eje-$y$. Para esto podemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el área debajo de la recta $L1$ desde $(-3,9)$ hasta $(0,9)$, denominada $A_1$, como se esquematiza en la Fig. 05a.
2. Calcular el área bajo la recta $L2$ desde $(-3,9)$ hasta $(0,6)$, denominada $A_2$, como se esquematiza en la Fig. 05b
3. Restar ambas áreas para obtener la mitad del área $A$. Luego habrá que duplicar el resultado para obtener el área desconocida. Es decir, $A=2\left(A_1-A_2\right)$

Fig. 05 Representación esquemática de las áreas $A_1$ y $A_2$, ambas en color gris.

Calculemos entonces $A_1$. Esto es como sigue:

$A_1=\int_{-3}^0 9\, dx=9x\Bigg|_{-3}^0$……………..(10)

$A_1=27$……………..(11)

De forma similar, $A_2$ se calcula como sigue:

$A_2=\int_{-3}^0 \left(-x+6\right) \, dx=\left(-\dfrac{x^2}{2}+6x\right) \Bigg|_{-3}^0$……………..(12)

$A_2=\dfrac{45}{2}$……………..(13)

Finalmente, el área $A$ puede calcularse como sigue:

$A=2\left( 27 -\dfrac{45}{2} \right)$……………..(14)

$A=9$……………..(15)

■

¿Cuál es el área de la región $B$? Aquí usaremos un análisis similar al que empleamos para calcular el área $A$. Puesto que ya conocemos el área bajo la recta $L2$ desde $(-3,9)$ hasta $(0,6)$, denominada $A_2$, podemos partir de este dato y calcular como sigue:.

1. Calcular el área bajo la recta $L3$ desde $(-2,4)$ hasta $(0,6)$, denominada $B_1$, como se esquematiza en la Fig. 06A.
2. Calcular el área bajo la curva $y_p=x^2$ desde $(-3,9)$ hasta $(-2,4)$, denominada $B_2$, como se esquematiza en la Fig. 06B.
3. Restar las áreas de $B_1$ y $B_2$ de $A_2$ para obtener el área de la región $B$. Es decir: $B=A_2-B_1-B_2$.

Fig. 06 Representación esquemática de las áreas $B_1$ y $B_2$, ambas en color gris.

Con el procedimiento anterior en mente, procedemos a calcular. El área $B_1$ es fácilmente estimada como sigue:

Con el procedimiento anterior en mente, procedemos a calcular. El área $B_1$ es fácilmente estimada como sigue:

$B_1=\int_{-2}^0 \left( x+6 \right)\, dx=\left( \dfrac{x^2}{2}+6x \right)\Bigg|_{-2}^0$……………..(15)

$B_1=10$……………..(16)

Mientras que para el área $B_2$ el cálculo sería:

$B_2=\int_{-3}^{-2} x^2 \, dx=\left( \dfrac{x^3}{3} \right)\Bigg|_{-3}^{-2}$……………..(17)

$B_1=\dfrac{19}{3}$……………..(18)

Finalmente, el área $B$ puede ser fácilmente calculada como:

$B=\dfrac{45}{2}-10-\dfrac{19}{3}$……………..(19)

$B=\dfrac{37}{6}$……………..(20)

■

¿Cuál es el área de la región $C$? Esta es una cuestión capciosa. En realidad, debido a la simetría vertical (con respecto al eje-$y$) las regiones $B$ y $C$ son idénticas. Por lo tanto, el área de la región $C$ es exactamente $\dfrac{37}{6}$ también.■

¿Cuál es el área de la región $D$? Igual que antes con $A$ y $B$, repetimos el mismo análisis. Puesto que ya conocemos el área bajo la recta $L3$ de $(-2,4)$ a $(0,6)$, denominada $B_1$ el proceso de cálculo sería como sigue:

• Calculamos el área bajo la curva $y_p$ desde $(-2,4)$ hasta el origen $(0,0)$, denominada $D_1$. Esto se puede ver en la Fig. 06.
• Calculamos la mitad del área de la región $D$ simplemente restando el área $D_1$ de la de $B_1$.

Fig. 06 Área de la región $D_1$ sombreada en gris.

El área $D_1$ puede ser fácilmente determinada como sigue:

$D_1=\int_{-2}^0 x^2 \, dx=\dfrac{x^3}{3}\Bigg|_{-2}^0$……………..(21)

$D_1=\dfrac{8}{3}$……………..(22)

Finalmente, el área $D$ es:

$D=2\left( B_1-D_1 \right)=2\left( 10-\dfrac{8}{3} \right)$……………..(23)

$D=\dfrac{44}{3}$……………..(24)

■

▲ Go to Top

¡Gracias por leer! — Ildebrando Pérez Reyes

¿Tienes alguna pregunta o comentario acerca de este post? Me gustaría poder ayudar. Por favor, siéntete libre de dejar tus preguntas en la sección de comentarios abajo, y trataré de responderte tan pronto como pueda.